Barrenechea deu os primeiros toques na bola nas escolas do Newell's Old Boys, da Argentina, e, no verão de 2019, transferiu-se para o Sion, integrando a equipa B dos suíços até janeiro de 2020, altura em que rumou à Juventus.
A estreia do médio na equipa principal da Vecchia Signora ocorreu em 2 de novembro de 2022, no duelo diante ante o PSG, da fase de grupos da Liga dos Campeões, e, na temporada 2023/24, foi cedido ao Frosinone.
No verão de 2024, Barrenechea transferiu-se para os ingleses do Aston Villa, da Premier League, mas, após o término dos trabalhos de pré-época, transitou, por empréstimo, para o Valência, de Espanha, onde, em 2024/25, marcou 1 golo em 32 jogos antes de rumar ao Benfica.
Chamado à seleção da Argentina em novembro de 2024 e em junho de 2025, Barrenechea, aguarda pela estreia em competição com a camisola alviceleste.
